%% Rota_Mar2.tex repris 21juin 2000 % % \documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm} \begin{document} \title{Couper les alphabets en quatre\\ {\small\it Quelques commentaires sur l'oeuvre math\'ematique de }\\ {\small\bf Gian-Carlo Rota}} \author{\small Alain Lascoux\\ \small CNRS, Institut Gaspard Monge, Universit\'e de Marne-la-Vall\'ee\\ \small 77454 Marne-la-Vall\'ee Cedex, France\\ \small Alain.Lascoux@univ-mlv.fr } \date{} \maketitle \def\s{\scriptstyle } \def\a{\alpha} \def\b{\beta} \def\l{\lambda} \def\L{\Lambda} \def\e{\epsilon} \def\ss{\sigma} \def\d{\partial} \def\P{\psi} \def\bu{$\bullet$\quad} \def\S{{\mathfrak S}} \def\Sym{{\mathfrak Sym}} \def\N{{\mathbb N}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\A{{\mathbb A}} \def\B{{\mathbb B}} \def\C{{\mathbb C}} \catcode`\@=11 \def\petitematrice#1{\null\vcenter {\normalbaselines \m@th \ialign {\hfil $##$\hfil &&\thinspace \hfil $##$\hfil\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}} \def\moyennematrice#1{\null\vcenter {\normalbaselines \m@th \ialign {\hfil $##$\hfil &&\ \hfil $##$\hfil\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{abstract} We stress the importance of addition (of alphabets) in the mathematical work of Gian-Carlo Rota, in particular for what concerns his "Finite Operator Calculus". \end{abstract} J'ai rencontr\'e Gian-Carlo en 1976 en d\'ebarquant au MIT \`a la recherche d'interlocuteurs. Travaillant \'etroitement avec Marcel-Paul Sch\"utzenberger qui \'etait un de ses grands amis, je n'avais pas besoin d'autre introduction! De plus, les quelques dollars que j'avais en poche me cantonnaient aux restaurants dits \lq\lq fasts", ce que le sens de l'hospitalit\'e de Gian-Carlo pouvait difficilement accepter. J'eus donc l'honneur de figurer \`a plusieurs reprises sur sa note de frais professionnels. C'\'etait encore l'\'epoque o\`u les inspecteurs des imp\^ots acceptaient d'encourager le d\'eveloppement de la combinatoire. Ce n'est plus le cas de nos jours o\`u cette derni\`ere a acc\'ed\'e \`a la reconnaissance officielle du S\'eminaire Bourbaki. Je tiens \`a pr\'eciser toutefois que le repas \'etait prolong\'e par de longues discussions sur les m\'erites compar\'es de diff\'erentes structures alg\'ebriques, Gian-Carlo me demandant de lui r\'ep\'eter une fois encore les axiomes des $\l$-anneaux qu'il notait dans ses cahiers avec un nouvel exemple de leur usage. Gian-Carlo se pr\'esentait comme l'\'epigraphiste des richesses de la litt\'era\-ture math\'ematique pass\'ee et l'avocat de la recherche des structures qui permettent de les int\'egrer aux courants actuels. Par exemple, le principe d'inclusion-exclusion conduit \`a l'\'etude des ensembles ordonn\'es, et \`a leur fonction de Moebius. La th\'eorie des invariants m\`ene au calcul ombral, le calcul diff\'erentiel a sa contrepartie discr\`ete, etc. Mais il ne suffit pas de d\'egager les structures alg\'ebriques pour qu'elles existent, il faut encore les commercialiser. Et pour cela, montrer que l'investis\-sement que repr\'esente leur apprentissage est r\'ecompens\'e par l'\'eclairage nouveau apport\'e \`a diff\'erents domaines classiques, la mise en relation de notions disjointes jusque l\`a, et l'apport de nouveaux objets - car on ne peut toujours moudre le m\^eme grain, il faut semer! Calcul ombral \cite{R1}, fonction de Moebius \cite{R2}, alg\`ebres de Hopf \cite{R7}, de Baxter \cite{R4}, etc. peuvent de fait se r\'esumer chacun(e)s en deux mots. Par exemple, le calcul ombral est l'art de lever les indices et d'abaisser les exposants, l'inversion de Moebius est l'inversion des matrices triangulaires de diagonale $1,\ldots, 1$, etc. Mais ces notions sont plus sophistiqu\'ees qu'il n'y para\^{\i}t. Comment calculer sur des ensembles ordonn\'es quand on ne peut les repr\'esenter et exp\'erimenter sur eux d\`es qu'ils sont quelque peu volumineux? M\^eme dans le cas d'un objet aussi classique que le groupe sym\'etrique, si l'on peut donner sa fonction de Moebius (relative \`a l'ordre de Bruhat), on ne sait dire que peu de choses sur ses intervalles ( i.e. les ensembles $[x,y]:=\{z\, :\, x\leq z\leq y\}$). Par exemple, on conjecture que les {\it polyn\^omes de Kazhdan-Lusztig} $P_{x,y}$ pour le groupe sym\'etrique ne d\'ependent que de la classe d'isomorphisme de l'intervalle $[x,y]$, mais en g\'en\'eral on ne sait pas calculer ce polyn\^ome, quoique ce soit le premier niveau de la description des intervalles. Quand \`a lever des indices, rien ne nous en emp\^eche, mais bien entendu on veut le faire {\it sans perte d'information}. Il est clair que dans une identit\'e lin\'eaire en des ind\'etermin\'ees $a_i$, $i=1,2\ldots$, on peut remplacer sans dommage chaque $a_i$ par $a^i$, en supposant que $a$ est une ind\'etermin\'ee ou un \'el\'ement transcendant sur l'espace de base. Mais pourquoi dans les relations de {\it straightening} si ch\`eres \`a Rota \cite{R9} entre les mineurs d'une matrice peut-on se restreindre \`a une matrice de Vandermonde $$\left[ \moyennematrice{ a^1 & a^2 & a^3 &\cdots \cr b^1 & b^2 & b^3 &\cdots\cr \cdot & \cdot &\cdot &\cdots }\right] $$ au lieu d'avoir \`a prendre une matrice g\'en\'erique $$\left[ \moyennematrice{ a_1 & a_2 & a_3 &\cdots \cr b_1 & b_2 & b_3 &\cdots\cr \cdot & \cdot &\cdot &\cdots }\right] \quad ? $$ Les r\`egles du calcul ombral sont simples, mais d\'efinir pr\'ecis\'ement leur domaine de validit\'e est beaucoup moins \'el\'ementaire et pose un probl\`eme de \lq\lq fondations", cf. \cite{R11}. J'aborderai donc ce probl\`eme sous l'angle le plus simple que je connaisse, celui de l'addition. Addition de quoi? Addition d'{\it alphabets}, i.e. union disjointe d'ensembles d'ind\'etermin\'ees : $$ \left( \A=\{ a\} \ , \ \B= \{ b\} \right)\quad \mapsto \quad \A+ \B:= \{ a\} \cup \{ b\} \ . $$ Ne consid\'erons pour le moment que des ensembles finis. En prenant une ind\'etermin\'ee suppl\'ementaire $z$, on peut \'ecrire des fonctions g\'en\'eratrices \begin{equation} \l_z(\A) := \prod_{a\in \A} (1 +za) \quad , \quad \ss_z(\A):= \prod_{a\in \A} {\frac{1}{1-za}} . \end{equation} dont le d\'eveloppement d\'efinit les fonctions {\it compl\`etes } $S^i(\A)$ et {\it \'el\'ementaires} $\L^i(\A)$ \begin{equation} \l_z(\A) =\sum z^i\, \L^i(\A) \quad , \quad \ss(\A) = \sum z^i\, S^i(\A) \ . \end{equation} L'addition des alphabets implique donc le produit des fonctions g\'en\'eratrices \begin{equation} \l_z(\A+\B)= \l_z(\A)\, \l_z(\B) \quad , \quad \ss_z(\A+\B)= \ss_z(\A)\, \ss_z(\B) \ . \end{equation} On a besoin aussi des {\it sommes de puissance} $\psi_i$: \begin{equation} \psi_i(\A)=\sum_{a\in \A} a^i \quad , \quad \sum_{i=1}^\infty \psi_i(\A)\frac{z^i}{ i} =\log( \ss_z(\A)) \ . \end{equation} Mais quand on sait additionner, on sait aussi multiplier par un entier positif $$ \A=\{ a\} \rightarrow 2\A := \{ a' \} \cup \{ a''\} \quad , \quad 3\A := \{ a' \} \cup \{ a''\} \cup \{ a'''\} \ldots $$ c'est-\`a-dire doubler, tripler chaque lettre (et oublier les diacritiques \`a l'\'etape finale): $$ \l_z(2\A) = \l_z(\A)^2 \quad , \quad \l_z(3\A) = \l_z(\A)^3 \ldots $$ On n'a pas besoin de plus d'outils pour inverser les s\'eries formelles $f(z) = z + f_1z^2 +f_2z^3 + \cdots$, c'est-\`a-dire trouver $g(z) = z + g_1z^2 + g_2z^3 + \cdots$ telle que $$f(g(z)) =z \quad \& \quad g(f(z))=z \ .$$ C'est un probl\`eme que l'on sait r\'esoudre depuis Lagrange, en calculant les d\'eriv\'ees successives des puissances de $f$, c'est-\`a-dire \`a l'aide d'op\'erations qui s'expriment ais\'ement en termes d'alphabets. Si l'on d\'ecide d'\'ecrire $f$ sous la forme $f= z\ss_{-z}(\A)$, alors on trouve que les puissances de $g$ sont \begin{equation} g^k(z) = k\, z^k \sum \frac{z^i}{i+k}\, \L^i\bigl( (i+k)\A \bigr) \ , \end{equation} et donc ne r\'eclament que la multiplication des alphabets par des entiers si $k\in\Z$ (on peut en fait prendre $k\in\C$; le cas limite $k=0$ donne le logarithme de $g$). La th\'eorie des fonctions sym\'etriques fournit, pour tout choix de couples de bases adjointes par rapport au produit scalaire naturel, un d\'eveloppement des $\L^i((i+k)\A)$ en fonction des coefficients de $f$ ou $1/f$. Ces d\'eveloppements apparaissent dans la litt\'erature classique, obtenus par les nombreux math\'e\-ma\-ticiens qui ont voulu donner leur interpr\'etation de l'inversion de Lagrange, en dernier lieu dans la th\`ese de Vincent Prosper qui en propose l'impl\'emen\-tation \cite{Pr1,Pr2}. En d'autres termes, la notation condens\'ee $\L^i( (i+k)\A)$ {\it contient} les formules suivantes (nous rejetons en annexe les propri\'et\'es requises des fonctions sym\'etriques)~: \begin{equation} \begin{matrix} \L^i((i+k)\A) &= &(-1)^i\sum\nolimits_{|J|=i} \P_J(-(i+k))S^J( \A) & (a)\\ &= &\sum\nolimits_{|J|=i}\P_J(i+k)\L^J( \A) & (b) \\ &= &\sum\nolimits_{|J|=i}S_J(i+k)S_{J^\sim}( \A) &(c) \\ &= &\sum\nolimits_{|J|=i}\L^J(i+k)\P_J( \A) &(d) \\ &= &(-1)^{i} \sum_{|J|=i} \frac{(-i-k)^{\ell(J)}}{m_1!m_2!\cdots} (\frac{\P_1}{1})^{m_1} (\frac{\P_2}{2})^{m_2} (\frac{\P_3}{3})^{m_3} \cdots & (e) \\ \end{matrix} \end{equation} sont les d\'eveloppements possibles dans la base des produits de fonctions compl\`etes $S^J$, des produits de fonctions \'el\'ementaires $\L^J$, des fonctions de Schur $S_J$, des fonctions monomiales $\P_J$, des produits de sommes de puissance $\P^J$, en notant dans $(6e)$ les partitions sous forme exponentielle : $J=1^{m_1} 2^{m_2}\cdots$. Soulignons encore une fois que chacun de ces d\'eveloppements r\'esulte d'une explicitation de l'op\'eration $\A \rightarrow k\, \A$ \`a l'aide de (1),...,(4). \smallskip Revenons aux travaux de Gian-Carlo. Je dis que l'article fondamental "Finite Operator Calculus" [R1] repose essentiellement sur l'inversion de Lagrange, et donc en fin de compte, sur la multiplication des alphabets par des entiers. De quoi s'agit-il? On veut d\'eformer la d\'eriv\'ee $$ D:= \frac{d}{dx} \rightarrow Q= D +a_1D^2+a_2D^2+\cdots $$ tout en pr\'eservant des propri\'et\'es telles que l'existence d'une base $\{ x^n\} : D x^n= nx^{n-1}$, celle d'un d\'eveloppement de Taylor, etc. , i.e. les outils de l'analyse classique en une variable. Introduisons un alphabet $\A$ (dont on ne cherchera pas \`a expliciter les \'el\'ements !) pour \'ecrire \begin{equation} Q = D\, \ss_{-D}(\A) = D - S^1(\A)D^2 +S^2(\A)D^2 -S^3(\A)D^3 +\cdots \end{equation} On cherche des polyn\^omes $P_n$, $n=1,2\ldots$, $P_0:=1$, tels que \begin{equation} Q(P_n) = n P_{n-1} \quad \&\quad P_n(0) =0 \ , \ n\geq 1 \ . \end{equation} Le th\'eor\`eme de Rota (\cite{R5}, th. 4), est \begin{equation} P_n = x\, \l_D(n\A)\, x^{n-1}\quad ,\quad \ n\geq 1 \ . \end{equation} \begin{proof}[Preuve] Notant $f'$ la d\'eriv\'ee en $x$ d'une fonction $f(x)$, on a $f(D) x = x\, f(D) + f'(D)$. Prenant $f$ telle que $f(D) =\l_D(-\A)$, on a $Q= D\,f =f\, D$ et $$Q\, P_n= f\, DP_n= f\, D x f^{-n}\, x^{n-1} $$ $$= f\, f^{-n}\, x^{n-1} + fx\, Df^{-n} x^{n-1} \qquad = f^{-n+1 }\, x x^{n-2} + f x f^{-n} D x^{n-1} $$ $$ =(1-n)f'\, f^{-n}\, x^{n-2} + x f^{-n+1} x^{n-2} + xf'\, f^{-n}\, (n-1) x^{n-2}+ x f^{-n+1} (n-1) x^{n-2}$$ $$= n\, P_{n-1} $$ \end{proof} Le th\'eor\`eme de Rota a de multiples corollaires qui sont les propri\'et\'es de l'analyse classique que l'on voulait d\'eformer~: \noindent \bu existence d'un noyau reproducteur \begin{equation} \sum \frac{P_n(y)}{n!}\, Q^n(f(x)) = f(x+y) \ , \end{equation} \bu d'une formule de Cauchy \begin{equation} \sum \frac{P_n(y)}{n!}\, x^n\ss_{-x}(n\A) = \exp(xy) \ , \end{equation} \bu d'une propri\'et\'e de \lq\lq binomialit\'e" \begin{equation} P_n(x+y) = \sum \binom{n}{i} P_i(x) P_{n-i}(y) \ . \end{equation} Ces formules peuvent s'interpr\'eter comme r\'esultant du remplacement de l'exponentielle classique par $\sum x^n P_n(x)/n!$. Elles peuvent appara{\i}tre beaucoup plus surprenantes une fois sp\'ecialis\'ees. Prenons par exemple $Q=D(1-D)$, i.e. $\A$ est tel que $S^1(\A)=1$, $S^i(\A)=0$, $i>1$. Alors $\L^i(n\A) = \binom{n+i-1}{i}$, \begin{equation} P_n = \sum \frac{(n-i)\cdots(n+i-1)}{i!}\ x^{n-i} \ , \end{equation} et la formule de Cauchy donne le d\'eveloppement de l'exponentielle \begin{equation} \exp(xy) = \sum \frac{P_n(y)}{n!}\, x^n\, (1-x)^n \end{equation} utilis\'e par Schur \cite{Schur} pour calculer $\sin(\pi x)$. Les {\it polyn\^omes d'Abel} apparaissent pour $$ Q= D+ aD^2/1! + a^2D^3/2!+\cdots\ , $$ i.e. pour $Q$ tel que $Q(f(x))= \frac{d}{ dx} f(x+a)$. L' \lq\lq alphabet d'Abel" correspondant est tel que $S^i(\A)=(-a)^i/i!$, $\L^i(n\A) = S^i(n\A) = (-na)^i/i!$, et donc alors \begin{equation} P_n(x) =x\, (x-na)^{n-1} \ . \end{equation} Dans ce cas, ce sont en fait les sommes de puissances qui sont les plus simples, car l'on a : $$ \psi_1(n\A) = -na \quad \& \quad \psi_i(n\A) =0 \ ,\, i>1 \ .$$ On peut noter que les dimensions $dim(J)$, $J$ partition, des repr\'esentations du groupe sym\'etrique sont donn\'ees par la sp\'ecialisation $S^i(\A)=1/i!$. On peut donc calculer les d\'eterminants en les $S^i(n\A)$ en terme de ces dimensions (qui ont diff\'erentes interpr\'etations combinatoires). Ainsi a-t-on pour les fonctions de Schur en les multiples entiers de l'alphabet d'Abel, pour $J=[j_1,\ldots,j_n]$, $0\leq j_1 \leq \leq \cdots \leq j_n$~: $$ S_J(n\A) = \frac{(-a\, n)^{|J|}}{|J|!} \, dim(J) = (-a\, n)^{|J|} \det\left| \frac{1}{ (j_i+k-i)!} \right|_{1\leq i,k\leq n} \ .$$ Dernier exemple de d\'eformation de la d\'eriv\'ee, conduisant aux nombres de Bernoulli: \begin{equation} Q =D \frac{D}{\exp(D) -1} = D\, (1- \frac{1}{2}D +\frac{B_2}{2!} D^2 +\frac{B_4}{4!} D^4 + \cdots ) \end{equation} On a donc $$ S^i(\A) = B_i/i! \quad \& \quad \L^i(\A)= (-1)^i/(i+1)! \quad ,\quad i\geq 0 \ .$$ Les fonctions \'el\'ementaires sont les m\^emes que pour Abel (et $a=1$), \`a un d\'ecalage d'indice pr\`es, qui a des cons\'equences que le corps m\'edical d\'enomme drastiques: \begin{equation} P_n(x) = x \left(\frac{\exp(D)-1}{ D} \right)^n\, x^{n-1} = x(1+D/2! +D^2/3!+\cdots)^n\, x^{n-1} \ . \end{equation} D'avoir des notations compactes pour d\'esigner les coefficients des puissances d'une s\'erie facilite grandement les calculs. Mais de plus, que ces notations utilisent le formalisme des alphabets et des fonctions sym\'etriques permet, \`a partir d'une identit\'e, d'en engendrer de multiples autres en puisant dans tout bon formulaire de fonctions sym\'etriques \cite{LS2} ou \cite{Ma}. Ainsi, dans le cas pr\'esent de l'alphabet de Bernoulli, l'identit\'e $ \frac{d}{dx}\exp(x) = \exp(x)$ implique que $\psi_i(\A) = -S^i(A) \ \forall i>1$, et donc les relations de Newton entre fonctions compl\`etes $S^i$ et sommes de puissances $\psi_k$ $$ nS^n= \psi_1 S^{n-1} + \psi_2 S^{n-2}+\cdots \psi_n S^{0} $$ fournissent la r\'ecurrence suivante sur les nombres de Bernoulli (dont Gessel me signale qu'elle est classique) \begin{equation} -(n+1)S^n(\A)= \frac{-n-1}{ n!} B_n= S_2(\A) S_{n-2}(\A) + S_4(\A) S_{n-4}(\A) + \cdots + S_{n-2}(\A) S_2(\A) \ . \end{equation} On pourra comparer l'algorithme sous-jacent \`a celui de Mademoiselle Augusta Ada, comtesse de Lovelace, \begin{equation} \frac{2x-1}{2( 2x+1) } = B_2 \frac{2x}{2!} + B_4 \frac{2x(2x-1)(2x-2)}{4!} + B_6 \frac{2x\cdots (2x-4)}{6!} +\cdots \end{equation} Pour clore le chapitre des nombres de Bernoulli, on me permettra de les exprimer en terme de polyn\^omes de Schubert \cite{LS1} $Y_v$ sp\'ecialis\'es en $x_1=x_2=\cdots =1$. On a ainsi \begin{equation} (-1)^{n-1} B_{2n}=\frac{ Y_{[ 2, (3,0)^{n-1}]}}{2^n (n-1)! (2^{2n}-1) } = \frac{ n\, Y_{ [1, (2,0)^{n-1}]}}{2^{2n} (2^{2n}-1) } \end{equation} $$B_{12}= Y_{[2,3,0,3,0,3,0,3,0,3]}\, \frac{1}{31449600} = Y_{[1,2,0,2,0,2,0,2,0,2]}\, \frac{1}{1397760} \ .$$ Mais l'on peut r\'eduire les d\'eterminants exprimant les polyn\^omes de Schubert pr\'ec\'edents, et finalement on obtient les nombres de Bernoulli comme mineurs de la matrice de Pascal $\left| \binom{i}{2j-i}\right|$, aux facteurs $2\times (2^{2n}-1)$ pr\`es. Par exemple, pour $n=6$, le produit de $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ par l'entier $2\times (2^{2n}-1)$ (= 8190), est \'egal au d\'eterminant (=2073) de la matrice suivante (\'ecrivant `$\cdot$` pour `$0$`, la matrice de Pascal d\'ecal\'ee dont elle est extraite figurant \`a droite)~: $$\left[ \moyennematrice{1& 1& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot\cr \cdot& 1& 1& \cdot& \cdot& \cdot\cr \cdot& \cdot& 3& 1& \cdot& \cdot\cr \cdot& \cdot& 1& 6& 1& \cdot\cr \cdot& \cdot& \cdot& 5& 10& 1\cr \cdot& \cdot& \cdot& 1& 15& 15} \right] \leftarrow \quad \left[ \moyennematrice{ 1& 1& \cdot& \cdot& \cdot& \cdot & \cdot& \cdot& \cdot &\cdot\cr \cdot& 1& 2 &1& \cdot& \cdot& \cdot & \cdot& \cdot &\cdot\cr \cdot& \cdot& 1&3&3& 1& \cdot& \cdot&\cdot&\cdot\cr \cdot& \cdot&\cdot& 1&4& 6&4& 1& \cdot&\cdot \cr \cdot& \cdot& \cdot&\cdot & 1&5& 10& 10&5&1\cr \cdot& \cdot& \cdot&\cdot&\cdot& 1&6& 15&20& 15} \right] $$ Les combinatoristes ne peuvent se lasser de r\'ep\'eter qu'ils ont pratiqu\'e le $q$-calcul avant que les sp\'ecialistes des groupes quantiques ne s'en emparent. Ils disposent ainsi d'une {\it $q$-d\'eriv\'ee} $D_q: f\mapsto \frac{ f(qx) -f(x)}{qx-x}$. A l'instar du cas pr\'ec\'edent, on peut la d\'eformer : \begin{equation} D_q \mapsto Q= D_q \ss_{-D_q}(\A) = D_q - S^1(\A)D_q^2 +S^2(\A)D_q^2 -S^3(\A)D_q^3 +\cdots \end{equation} Comme $D_q(x^n) = [n]\, x^{n-1}$, avec $[n]:= 1+q+\cdots + q^{n-1}$, on est amen\'e \`a chercher des polyn\^omes $P_n^q$ tels que \begin{equation} Q(P_n^q) = [n] P_{n-1}^q \quad \&\quad P_n^q(0) =0 \ , \ n\geq 1 \ . \end{equation} Il faut en fait remplacer la relation $P_n= x\l_D(n\A) x^{n-1}$ par une \'equivalente pour pouvoir la $q$-ifier, et l'on trouve \begin{equation} P_n^q= \left( 1 +\sum (n-|J|) \frac{(n-1)\cdots (n-\ell(J) +1)}{\prod m_i!} \L^J(\A)\, D_q^{|J|} \right) \, x^n \ , \end{equation} somme sur toutes les partitions $J \neq 0$, $J=1^{m_1} 2^{m_2} 3^{m_3}\cdots$, $\ell(J)= m_1+m_2+\cdots$, $|J|=m_1+2m_2+3m_3+\cdots$, et $\L^J:= (\L^1)^{m_1} (\L^2)^{m_2}(\L^3)^{m_3} \cdots $. Les $q$-entiers n'apparaissent donc que dans l'action de $D_q$ et pas dans les coefficients des puissances de $D_q$. Comme on obtient $P_n^q$ \` a partir de $x^n$ et pas de $x^{n-1}$, la formule (23) ne d\'ecoule pas instantan\'ement de (9). Pour des extensions du calcul ombral, voir \cite{Ro}. Il me faut maintenant justifier que l'addition ou la multiplication par les entiers ne couvre pas toutes les math\'ematiques. Il est n\'ecessaire en effet de faire appel \`a la multiplication par les rationnels, ou m\^eme les nombres complexes. En d'autres termes, on a rencontr\'e le doublement des alphabets $\A=\{ a\} \mapsto 2\A := \{ a' \} \cup \{ a''\}$, mais on r\'eclame l'op\'eration inverse : $$ \A\mapsto \frac{1}{2}\A = \B \quad , \quad \B = \{ b \} \mapsto \{ b' \} \cup \{ b''\} = \A \ . $$ Si l'on veut bien voir qu'au niveau des sommes de puissance : $$ \psi_i(2\A) = \sum (a')^i + \sum (a'')^i = 2\psi_i(\A) \ , $$ on comprend que $B=k\, \A$, $k\in \C$ puisse \^etre formellement d\'efini par \begin{equation} \psi_i(\B) := k\, \psi_i(\A) \ , \ i\geq 1 \ . \end{equation} Mais il est plus \'eclairant de constater que tout polyn\^ome peut jouer le r\^ole d'alphabet, c'est-\`a-dire que les $\psi_i$ sont des op\'erateurs sur l'anneau des polyn\^omes ( $\a\in \C$, $u$ mon\^ome): \begin{equation} P= \sum_{\a,u} \a\, u \Rightarrow \psi_i(P) = \sum_{\a,u} \a\, u^i \ . \end{equation} L'anneau des polyn\^omes sym\'etriques $\Sym$ ayant pour g\'en\'erateurs les $\psi_i$, $i=1,2,\ldots$, les formules (25) font de tout polyn\^ome sym\'etrique un op\'erateur sur l'anneau des polyn\^omes. Ansi, les fonctions g\'en\'eratrices des op\'erateurs $\L^i$ et $S^i$ sont \begin{equation} P= \sum_{\a,u} \a\, u \mapsto \l_z(P) = \prod (1+zu)^\a \ , \end{equation} \begin{equation} P= \sum_{\a,u} \a\, u \mapsto \ss_z(P)= \prod (1-zu)^{-\a} \ . \end{equation} Chacune des formules (25) (26), (27), au choix, caract\'erise la structure de $\l$-annneau de l'anneau des polyn\^omes. Grothendieck avait choisi les {\it lambda op\'erations}, c'est-\`a-dire les {\it puissances ext\'erieures} $\L^i$ sur les classes de fibr\'es vectoriels, les $S^i$ \'etant les {\it puissances sym\'etriques}. Les topologues alg\'ebristes pr\'ef\`erent quant \`a eux les {\it op\'erations d'Adams} $\psi_i$ (voir en annexe quelques remarques sur les $\lambda$-anneaux). Remarquons le r\^ole diff\'erent jou\'e par les constantes $\a$ et les mon\^omes $u$: \begin{equation} \left\{ \begin{matrix} \psi_i(\a) =\a \; , &S^i(\a) = \binom{\a+i-1}{i} \; , &\L^i(\a) = \binom{\a}{i} \\ \psi_i(u) =u^i \; , &S^i(u) =u ^i \; , &\L^i(u) = 0,\, i>1, &\L^1(u) =u \\ \end{matrix} \right. \end{equation} Un syst\`eme de calcul formel ne peut distinguer, sans aide, des coefficients ind\'etermin\'es $\a$ de variables $u$. Il est plus correct de caract\'eriser les \lq\lq mon\^omes" comme les {\it \'elements de rang 1} (i.e. les $x\neq 0$ tels que $\L^i(x) = 0 \ \forall i>1$), et les \lq\lq constantes" $\a$ comme les \'elements invariants par les $\psi_i$ (Rota \cite{R5} disait plut\^ot {\it \'el\'ement de type binomial}). Il est appropri\'e de ne pas se cantonner aux polyn\^omes, mais de prendre plut\^ot des fonctions rationnelles, ou des s\'eries formelles, en gardant comme d\'efinition \begin{equation} \psi_i \left( \frac{\sum \a u}{\sum \b v}\right) = \frac{\sum \a u^i}{\sum \b v^i} \ , \end{equation} les sommations \'etant finies ou non. Avec un peu de pr\'ecaution, on peut aussi utiliser des "mon\^omes de Laurent" d'exposants dans $\Z$ au lieu de $\N$. Si $q$ est de rang 1, on peut maintenant \'ecrire $\frac{1}{ 1-q}= 1+q+q^2+\cdots$, c'est-\`a-dire $\frac{1}{1-q}$ est l'alphabet infini $\{ 1,q,q^2,\ldots\}$ et $\psi_i( \frac{1}{1-q}) = \frac{1}{1-q^i}$, $i\geq 1$. Incidemment, Cauchy nous apprend que : \begin{equation} S_i(1/(1-q))= 1/(1-q)\cdots (1-q^i) \end{equation} et donc \begin{equation}\ss_x(1/(1-q)) =\sum {x^i}/{(1-q)\cdots (1-q^i)} \end{equation} est la $q$-exponentielle, l'\'egalit\'e ${1}/{1-q}= 1+q+q^2+\cdots$ se traduisant par la factorisation \begin{equation}\ss_x({1}/{1-q}) =\prod_{i=1}^\infty {1}/{(1-xq^i)} \end{equation} qui fait de la $q$-exponentielle un objet souvent plus simple \`a manipuler que l'exponentielle proprement dite \cite{R6}. En combinant des \'el\'ements de type diff\'erent d'un $\l$-anneau, on code par le signe \lq\lq $+$" des d\'eveloppements tr\`es vari\'es. Soit par exemple $x$ de type binomial, $q$ de rang 1 et $y$ tel que $y(1-q)$ soit de rang 1. On d\'efinit les $q$-polyn\^omes de Charlier par : \begin{equation} Ch_n(x) := n!\, \L^n(x-y) \ . \end{equation} Pour avoir leur expression explicite, il est pr\'ef\'erable d'introduire $z:=y(1-q)$. On alors $$\L^n(x-\frac{z}{1-q})= \sum \L^{n-i}(x) \L^i(\frac{-z}{1-q}) = \sum \L^{n-i}(x) (-z)^i S^i(\frac{1}{1-q}) $$ \begin{equation} Ch_n(x)= n! \sum \frac{x\cdots (x-n+i+1)}{(n-i)!} \frac{ (-y)^i (1-q)^i}{(1-q)\cdots (1-q^i)} \ , \end{equation} en combinant (3), (28), (30). Pour $y=1$, $q\rightarrow 1$, on retrouve bien les polyn\^omes classiques (Rota \cite{R1}, p.64). Nous pouvons maintenant revenir au calcul ombral, en ayant pr\'esent \`a l'esprit qu'il y a plusieurs rel\`evements possibles pour $a_i$: $$ a_i \mapsto S_i(\A)\ ,\ a_i \mapsto \psi_i(\A) \ ,\ a_i \mapsto i! S_i(\A) \ , \ \ldots $$ C'est l\`a o\`u il faut faire preuve de discernement, et/ou disposer d'un outil qui permette l'exp\'erimentation comme ACE \cite{AV} et sa librairie SFA \cite{Pr2} consacr\'ee aux $\l$-anneaux. Prenons par exemple l'identit\'e \begin{equation} \exp(bx) = \sum \frac{b(ak+b)^{k-1}}{k!} (x\exp(-ax))^k \ , \end{equation} que Riordan \cite{Ri} donne comme application de l'inversion de Lagrange. Comment l'interpr\'eter dans un $\l$-anneau ? On peut introduire deux alphabets $\A$, $\B$, remplacer $\exp(ax)$ par $\ss_x(\A)$, $\exp(bx)$ par $\ss_x(\B)$ et chercher les coefficients $c_k$ du d\'eveloppment \begin{equation} \ss_x(\B) = \sum c_k (\frac{x}{\ss_x(\A)})^k = \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A) \ . \end{equation} Les premiers termes sont $$ 1+xS^1(\B)+x^2S^2(\B) +\cdots = 1+ xS^1(\B)\l_{-x}(\A) + x^2(S^2(\B)+S^1(\B) S^1(\A))$$ $$ \l_{-x}(2\A) + x^3(S^3(\B)+ 2S^2(\B) S^1(\A)+2S^1(\B)S^2(\A) + S^1(\B)S_{11}(\A) ) \l_{-x}(3\A) +\cdots $$ On voit que les $c_k$ sont lin\'eaires en les $S_i(\B)$ ce qui permet de se retreindre \`a un alphabet $\B:= b $ de cardinal 1. Par homog\'en\'eit\'e, on peut m\^eme poser $b=1$. On veut donc r\'esoudre $$ \frac{1}{1-x}= \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A) $$ i.e. $$1 = (1-x) \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A)= \sum c_k x^k\, \l_{-x}(k\A+1) \, $$ syst\`eme dont la solution combine addition et multiplication par un entier: \begin{equation} c_k= \frac{1}{k} S^{k-1}(k\A+2) \ , \ k\geq 1 \ . \end{equation} Par exemple, $c_3=\frac{1}{3}S_2(2\A+2)= 2S^2(\A)+S_{11}(\A) +2S^1(\A)+1$ et, en revenant \`a une expression homog\`ene de degr\'e 3 $$ c_3= 2S^2(\A) S^1(\B) +S_{11}(\A)S^1(\B) +2S^1(\A)S^2(\B) + S^3(\B)\ . $$ L'identit\'e de Riordan se retrouve dans la sp\'ecialisation $S^i(\A)= a^i/i!$, $S^i(\B)=b^i/i!$, car alors : $$ c_3\mapsto 2\frac{a^2}{2}\frac{b}{1} + \frac{a^2}{2} \frac{b}{1} +2 \frac{a}{1}\frac{b^2}{2} + \frac{b^3}{3!}= \frac{b(3a+b)^2}{3!}\ .$$ On peut m\'editer sur le fait que la g\'en\'eralisation de l'identit\'e de Riordan se prouve en rempla\c cant $\exp(-bx)$ par $1-bx$, {\it ombre} qui para\^{\i}t bien ch\'etive pour abriter l'exponentielle, qu'elle repose sur le seul usage de la formule (25) et qu'elle fait surgir de nihilo l'entier $2$ . Nous pourrions multiplier les exemples classiques qui se d\'ecodent en multiples entiers d'alphabets (voir en particulier l'article de Brenti \cite{Br}). Les quarts d'alphabets promis par le titre de cet expos\'e se rencontrent plus difficilement dans la nature et je terminerai sur un seul exemple, celui des polyn\^omes de Jack $J^\a_k$ indic\'es par les partitions de longueur 1 \cite{Ma}. En effet leur fonction g\'en\'eratrice est : \begin{equation} \sum \frac{z^k}{a^k k!} J^\a_k(x_1,\ldots,x_n) = \prod(1-zx_i)^{-\frac{1}{\a}} = \ss_z(\frac{1}{\a}X) \ , \end{equation} la derni\`ere \'ecriture supposant que les $x_i$ soient des \'el\'ements de rang 1 de somme $X$. Un exemple de calculs utilisant les techniques de $\lambda$-anneaux pour produire des identit\'es li\'ees aux polyn\^omes de Jack se trouve dans \cite{LL}. Quand les $\l$-anneaux seront enseign\'es dans les lyc\'ees et coll\`eges, je n'aurai pas de mal \`a allonger la liste d'exemples. \medskip\noindent {\bf Formule de Cauchy} L'espace des fonctions sym\'etriques $\Sym$ en des ind\'etermin\'ees $x_1,\ldots, x_n$ est \'etudi\'e depuis fort longtemps. Newton a montr\'e que cet espace est un espace de polyn\^omes en les variables $\L^1,\ldots, \L^n$, ou $\psi_1,\ldots, \psi_n$. La majorit\'e des probl\`emes classiques se r\'eduisaient \`a des changements de base de $\Sym$ (en tant qu'espace vectoriel). A la suite de Kostka, on a compris qu'il existait un produit scalaire canonique, pour lequel les fonctions de Schur sont une base orthonorm\'ee, les sommes de puissance, une base orthogonale, les fonctions monomiales, la base adjointe des produits de fonctions compl\`etes, etc. Tous ces \'enonc\'es se r\'esument en l'existence d'un {\it noyau de Cauchy} $$K(X,Y):= \prod_{i,j} \frac{1}{1-x_iy_j}$$ (introduisant un deuxi\`eme ensemble d'ind\'etermin\'ees $y_1,\ldots, y_n$ que l'on peut supposer de m\^eme cardinal). Ce noyau d\'efinit le produit scalaire, en ce sens que tout d\'eveloppement \lq\lq s\'eparant les variables" $$K(X,Y) =\sum U_J(X) V_J(Y) $$ fournit un couple de bases adjointes $\{U_J\}$, $\{V_J\}$ de $\Sym$ relativement \`a ce produit scalaire. Les d\'eveloppements $$K(X,Y)= \prod_i\sum_k y_i^k S^k(X) \ \& \ K(X,Y)= \prod_{i,j}\left( 1+ x_iy_j +(x_i y_j)^2+\cdots \right)$$ montrent que la base monomiale est adjointe de la base des produits de fonctions compl\`etes, et que la base des sommes de puissance est orthogonale. La diagonalisation de $K(X,Y)$ dans la base des fonctions de Schur est moins imm\'ediate. On la d\'eduit du th\'eor\`eme de Binet-Cauchy exprimant les mineurs d'un produit de deux matrices en fonction de ceux de chacune d'entre elles (cf. \cite{Ma}), la matrice $\left[\frac{1}{1-x_iy_j} \right]$ factorisant en deux matrices de Vandermonde. Ces trois d\'eveloppements, combin\'es \`a l'involution $X\mapsto -X$ et la sym\'etrie $X \leftrightarrow Y$ donnent par sp\'ecialisation de $Y$ en l'entier $i+k$ les formules $(6a),\ldots,(6e)$. D\'eformant le noyau de Cauchy en introduisant un ou deux param\`etres, on peut ainsi g\'en\'eraliser les fonctions de Schur en les {\it polyn\^omes de Hall-Littlewood} ou les {\it polyn\^omes de Macdonald}. Cependant ces polyn\^omes forment une base orthonorm\'ee et non orthogonale, ce qui n\'ecessite d'introduire des conditions suppl\'ementaires pour les caract\'eriser (contrairement aux fonctions de Schur qui sont la seule base orthonormale de $\Sym$ sur $\Z$). \medskip\noindent{\bf $\l$-anneaux} Les $\l$-anneaux sont des anneaux munis d'op\'erateurs $\l^i$, $i\in \N$, satisfaisant trois axiomes exprimant leur compatibilit\'e avec les op\'erations de l'anneau (cf. \cite{Kn})~: l'addition : $\l^i(x+y)$, la multiplication $\l^i(xy)$, le troisi\`eme axiome \'enon\c cant une propri\'et\'e d'universalit\'e de la composition $x \mapsto \l^i(\l^j(x))$ (que les combinatoristes ont appel\'ee {\it plethysm(e)}. Au lieu de prendre les $\lambda^i$, on peut utiliser les $S^i$ d\'efinis par $S^i(x):= (-1)^i\, \l^i(-x)$, ou les $\psi_k$ d\'efinis par la fonction g\'en\'eratrice (4) (en rempla\c cant $A$ par $x$). Pour ce qui est des calculs explicites, notre connaissance du plethysme est \`a l'heure actuelle trop sommaire pour que l'on puisse en faire grand usage. Il ne reste que l'addition (c'est un avatar de la formule de Chu-Vandermonde) $$ S^k(x+y) = \sum_{i+j=k} S^i(x) S^j(y)$$ et la multiplication, qui est explicit\'ee par la formule de Cauchy $$ S^k(xy) = \sum_{J:|J|=k} S_J(x) S_J(y) $$ (en d\'efinissant les $ S_J(x)$ comme des d\'eterminants en les $S^j(x)$). On peut donc dire que la formule de Cauchy engendre la majorit\'e des identit\'es en th\'eorie des $\lambda$-anneaux, tout comme en th\'eorie classique des fonctions sym\'etriques. Nous nous sommes restreints \`a l'anneau des polyn\^omes, ce qui rend l'axiomatique plus simple. Les objets de base sont en effet les mon\^omes $u$ et les scalaires $\a$ (ici, les \'el\'ements de $\C$). Les trois axiomes se condensent alors en les formules (25), pour $k>0$, $$ \psi_k \left(\sum \a\, u\right) = \sum \a\, u^k \ .$$ Par contre, dans un $\lambda$-anneau g\'en\'eral, on aura d'autres \'el\'ements que les \lq\lq polyn\^omes". \medskip \noindent {\bf Polyn\^omes de Schubert} Ces polyn\^omes g\'en\'eralisent les fonctions de Schur et constituent une base lin\'eaire de l'anneau des polyn\^omes en $x_1,x_2,\ldots$, stable par diff\'erences divis\'ees. Leur combinatoire fait appel aux permutations, plut\^ot qu'aux partitions. Pour tout $i$ on d\'efinit \`a la suite de Newton la {\it $i$-\`eme diff\'erence divis\'ee} $\partial_i$ comme l'op\'erateur (not\'e \`a droite) $$ f\, \partial_i = \frac{ f(\ldots x_i,x_{i+1}\ldots) - f(\ldots x_{i+1},x_i \ldots)} { x_i - x_{i+1} }$$ Pour tout $k$, tout $\nu:= [\nu_1,\ldots, \nu_k]$, $\nu_1\geq \cdots \geq \nu_k \geq 0$, on pose $$ Y_\nu:= x^\nu $$ et l'on d\'efinit r\'ecursivement les {\it polyn\^omes de Schubert} par \begin{equation} Y_J\, \partial_i = Y_{[\ldots, j_{i+1},j_i-1,\ldots]} \quad {\rm si} \quad j_i >j_{i+1} \end{equation} (comme $\partial_i^2=0$, on a n\'ecessairement $Y_J\, \partial_i=0$ si $j_i\leq j_{i+1})$. En d'autres termes les polyn\^omes de Schubert sont toutes les images par it\'eration de diff\'erences divis\'ees des mon\^omes {\it dominants}. Lorsque $J$ est du type $j_1\leq j_2\leq \cdots \leq j_n$, $j_{n+1}=0=j_{n+2}=\cdots$, alors $Y_J$ est \'egal \`a la fonction de Schur d'indice $[j_1,\ldots,j_n]$ en les variables $x_1,\ldots,x_n$. Les d\'eterminants binomiaux s'obtiennent \`a partir des fonctions de Schur, en utilisant r\'ep\'etivement la r\`egle (39). Ainsi $$Y_{2345}\ \stackrel{\d_4\d_5}{\longrightarrow} \ Y_{234003}\ \stackrel{\d_3}{\longrightarrow} \ Y_{230303} $$ $$Y_{1234}\ \stackrel{\d_4\d_5}{\longrightarrow} \ Y_{123002}\ \stackrel{\d_3}{\longrightarrow} \ Y_{120202} $$ Les techniques de diff\'erences divis\'ees remplacent ainsi les manipulations de d\'eterminants, et fournissent des identit\'es sur les d\'eterminants binomiaux qui sont des sp\'ecialisations $x_i=1$, $i=1,2,\ldots$ de polyn\^omes de Schubert, en particulier pour ceux exprimant les nombres de Bernoulli. Gessel et Viennot \cite{GV} utilisent quant \`a eux une combinatoire de chemins pour \'etudier ces d\'eterminants. Comme pour les fonctions sym\'etriques, la th\'eorie peut se condenser en l'existence d'un noyau de Cauchy $$K_n(X,Y):=\prod\nolimits_{i,j\, :\, i+j\leq n} (x_i-y_j)$$ qui g\'en\'eralise en fait le {\it r\'esultant} $\prod_{i,j}(x_i-y_j)$ (lequel est diagonal dans la base Schur). Notons qu'il est \'equivalent de consid\'erer $\prod_{i,j}(x_i-y_j)$ ou $\prod_{i,j}1/(1-x_iy_j)$. Par contre, la fonction $\prod_{i,j\, :\, i+j\leq n}1/(1-x_iy_j)$ fait intervenir les {\it polyn\^omes clefs} (associ\'es aux diff\'erences divis\'ees {\it isobares}) et non les polyn\^omes de Schubert. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{AV} ACE, S. Veigneau. \emph{an Algebraic Environment for the Computer algebra system MAPLE}, {\tt http://phalanstere.univ-mlv.fr/$\sim$ace} (1998). \bibitem{Br} F. Brenti. \emph{ A class of $q$-symmetric functions arsing from plethysm}, pr\'epublication (1999). \bibitem{GV} I. Gessel, X. 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