Resume
We show that the Kazhdan-Lusztig basis elements C_w of the Hecke algebra of the symmetric group, when w corresponds to a Schubert subvariety of a Grassmann variety, can be written as a product of factors of the form (T_i+f_j(v)), where f_j are rational functions. # ICM ICM_OrdredeBruhat.ps.gz One usually defines the Bruhat order on the symmetric group by subwords of reduced decompositions or by comparison of tableaux (Ehresmann). M.P. Schutzenberger and I prefered to embedd the symmetric group into a distributive lattice. The most powerful method, however, is to use the Kazdhan-Lusztig basis of the Hecke algebra of the symmetric group: vanishing or not of Kazdhan-Lusztig polynomials ensure that permutations are comparable or not. We explicit these polynomials in the case of vexillary permutations. L'ordre de Bruhat sur le groupe sym\'etrique est usuellement d\'efini en terme de sous-mots de d\'ecompositions r\'eduites, ou de tableaux (Ehresmann). Avec Sch\"utzenberger, j'ai pr\'ef\'er\'e plonger le groupe sym\'etrique dans un treillis distributif. La methode qui donne le plus d'informations est cependant d'utiliser la base de Kazhdan-Lusztig de l'alg\'ebre de Hecke. J'explicite les polyn\^omes de Kazhdan-Lusztig dans le cas des permutations vexillaires. -------------------------------- Qfunctions_and_degeneraci We give formulas (involving Schur Q-functions) for the fundamental classes of degeneracy loci associated with vector bundle maps given locally by (rectangular) matrices which are symmetric or antisymmetric. Nous donnons l'expression, en terme de fonctions Q de Schur, des classes fondamentales des lieux de d\'eg\'enerescence de matrices (rectangulaires) sym\'etriques ou antisym\'etriques. GLACE CARREE Enumeration of square-ice models, or alternating-sign matrices lead to the study of Cauchy type determinants of entries (1/(x-y)(qx-y)) or (1/(x-y)(x-y+ g)), where {x} and{y} are two sets of the same cardinal, and q,g are constants. Up to trivial factors, these determinants are symmetric functions in {x} and {y} that we show how to explicit by factorizing them. L'\'enumeration des mod\`eles de glace carr\'ee, ou de matrices \`a signe alternant conduit \`a \'etudier des d\'eterminants de type Cauchy, dont les entr\'ees sont (1/(x-y)(qx-y)) ou (1/(x-y)(x-y+ g)), avec {x} et {y} deux ensembles d' ind\'etermin\'ees de m\^eme cardinal, et q,g deux constantes. Ces d\'eterminants se r\'eduisent \`a des fonctions sym\'etriques en {x} et en {y}, que nous montrons comment expliciter et factoriser. FACTORIZATION_SCHUBERT Let P_i(x) be a matrix, obtained from the standard matrix representing the simple transposition (i,i+1) by adding a parameter x in position (i,i). Then reduced products of such matrices parametrize Schubert varieties. Change of parametrizations are polynomial. Moreover, one recovers many classical combinatorial objects (Rothe diagrams, balanced tableaux, ...) from such matrices. Soit P_i(x) la matrice obtenue en ajoutant l'entr\'ee x en position (i,i) \`a la matrice standard repr\'esentant la transposition simple (i,i+1). Alors les produits (r\'eduits) de telles matrices param\'etrisent les variet\'es de Schubert, les changements de param\`etres \'etant polynomiaux. En outre, de nombreux objets combinatoires (diagrammes de Rothe, tableaux \'equilibr\'es, ...) sont ainsi naturellement interpr\'et\'es. HIRZEBRUCH Hirzebruch.dvi.gz Hirzebruch.ps.gz We indicate how Hecke algebras, Yang-Baxter equation, Hall-Littlewood polynomials, Macdonald polynomials, can be traced back to the parameter $y$ that Hirzebruch introduced in his study of Riemann-Roch theorem. Nous montrons comment l'alg\`ebre de Hecke, l'\'equation de Yang-Baxter, les fonctions de Hall-Littlewood et m\^eme les polyn\^omes de Macdonald peuvent \^etre reli\'es au param\`etre $y$ que Hirzebruch introduisit dans son \'etude du th\'eor\`eme de Riemann-Roch. YOUNG IDEMPOTENTS YoungIdemp2Pol Coding permutations as monomials, one obtains a compact expression of representatives of Young's natural idempotents for the symmetric group, or the Hecke algebra. Codant les permutations comme des mon\^omes, on obtient une expression compacte des idempotents de Young dans l'alg\`bre du groupe sym\'etrique ou l'alg\`ebre de Hecke.