Nous généralisons et prouvons des conjectures de Corteel et Lovejoy, liées aux "overpartitions".

Nous évaluons des déterminants de Hankel en polynômes de Meixner associés à la série exp (\sum a [i] z^i/i), oà [1],[2]... sont les q-entiers (Adv. Appl. M., volume Robbins).

A l'aide d'opérateurs de symétrisation, nous donnons une nouvelle expression de l'opérateur Omega de MacMahon, utilisé en théorie des partitions, en particulier dans des travaux récents d'Andrews (JCTA (2004)).

Nous donnons une formule de type Newton d'interpolation par des fonctions rationelles. Elle contient comme cas particulier la formule de Newton, mais aussi celle de Zhi-Guo Liu. Nous en déduisons des identités sur les q-séries et les séries bibasiques.

Nous donnons une douzaine de formules concernant les polynômes de Schubert et Grothendieck, la moitié étant nouvelles, et la plupart intéressantes. En particulier, nous explicitons la décomposition d'un polyn�me de Schubert comme une somme positive de polyn�mes de Grothendieck.

Nous évaluons différents déterminants de Hankel de polynomes de Rogers-Szego, et en déduisons des fractions continues.

En combinant les interpolations de Lagrange et Newton, on trouve des q-identités qui généralisent des résultats de Van Hamme, Uchimura, Dilcher et Prodinger.

Nous commentons et prouvons les formules de Sylvester relatives aux restes dans la division euclidienne de deux polynomes, comme doubles sommations sur les ensembles de racines.

Trois méthodes élémentaires d'obtenir les polynômes de Schubert: interpolation, diagonalisation d'un noyau de Cauchy, coefficients d'éléments de Yang-Baxter.

Litllewood a donné le développement d'expressions du type $\prod 1/(1-ab)$. Nous montrons que sa méthode permet d'obtenir des généralisations récemment publiées.

Les classes de Chern pour les drapeaux de fibrés vectoriels, les coefficients de Yang-Baxter et les polynômes de Grothendieck peuvent s'obtenir par une simple statistique sur les matrices à signe alternant.

Nous donnons le Jacobien de fonctions symétriques en un nombre fini de variables.

Je montre comment developper un noyau de Cauchy non symétrique 1 /\prod_{i+j< n} (1-x_i y_j) dans la base des caractères de Demazure. La construction se réduit à employer le jeu de taquin sur le graphe cristallin des mots, des deux cotés..

Nous définissons des familles de fonctions non-commutatives et non-symétriques, que nous présentons comme généralisation des polynômes de Macdonald.

Notes d'un cours ``Symmetric functions and Combinatorial Operators on polynomials'', North-Carolina Juin 01.

Je donne la généralisation à plusieurs variables de la formule d'interpolation de Newton, en utilisant seulement des propriétés d'annulation. C'est un travail ancien, avec M.P. Schützenberger.

La division euclidienne de deux séries formelles en une variable produit une suite infinie de séries que nous explicitons, en remarquant que le cas où une des deux séries est 1 est suffisamment générique.

Le lieu singulier d'une variété de Schubert est une union de variété de Schubert dont nous donnons les éléments maximaux.

Nous décrivons l'opérateur vertex associé aux sommes de puissance en les éléments de Jucys dans l'algèbre du groupe symétrique. Nous donnons le lien avec la multiplication par les classes de conjugaison et les fonctions polynomiales de Kerov et Olshanski, à l'aide d'intégrales matricielles.

Les différentes variétés de polynômes de Jack et Macdonald peuvent s'obtenir à partir des relations de Yang-Baxter, en utilisant un graphe associé au groupe symétrique affine étendu.

Pour chaque entier $k$, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes symétriques, construites à partir de sommes de tableaux de Young munis de leur charge. Nous conjecturons que les polynômes de Macdonald indicés par des partitions de longueur bornée par $k$ sont des sommes positives de tels polynômes.

Nous décrivons des outils, liés au groupe symétrique, qui permettent de calculer avec les polynômes de plusieurs variables. On retrouvera beaucoup de ces outils dans ACE (librairie Maple, écrite à Marne La Vallée, disponible sur http://phalanstere.univ-mlv.fr/~ace)

Nous montrons comment relier les Polynômes de Grothendieck (qui représentent les variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck de la variété de drapeaux) et les polynômes grassmanniens (qui sont des déformations des fonctions de Schur).

Nous montrons comment lire les matrices de représentations (dues à Young) du groupe symétrique, sur des graphes faciles à engendrer.

Nous montrons que la description combinatoire des cumulants en terme de chemins de Motzkin, par Lehner, s'étend à celle des puissances des fractions continues. (soumis au Séminaire Lotharingien de Combinatoire).

Nous donnons une description combinatoire directe de la bijection de Sylvester entre les partitions strictes et les partitions en parts impaires.

En utilisant les différences divisées orthogonales, nous décrivons la structure de l'anneau des polynomes comme module libre sous les invariants d'un groupe de Weyl de type D. Nous appliquons cette étude a l'anneau de cohomologie de la varieté de drapeaux correspondante.

Nous prouvons une identité sur les partitions planes précédemment conjecturée dans le cadre des polynomes de Jack décalés (math.CO/9903020). Il serait intéssant d'en obtenir une preuve bijective.

Nous rappelons plusieurs descriptions du groupe symétrique affine. Nous explicitons les bases de l'ordre de Bruhat.

Nous montrons l'importance de l'addition dans l'oeuvre mathématique de Gian-Carlo Rota (version francaise or EuroEnglish version).

Nous donnons l'expression, en terme de fonctions Q de Schur, des classes fondamentales des lieux de dégénerescence de matrices (rectangulaires) symétriques ou antisymétriques.

Nous montrons que les éléments de Kazhdan-Lusztig C_w de l'algèbre de Hecke du groupe symétrique, lorsque w correspond à une sous-variété de Schubert d'une grassmannienne, peuvent s'écrire comme un produit de facteurs de la forme (T_i+f_j(v)), où les f_j sont des fonctions rationnelles.

L'énumeration des modèles de glace carrée, ou de matrices à signe alternant conduit à étudier des déterminants de type Cauchy, dont les entrées sont (1/(x-y)(qx-y)) ou (1/(x-y)(x-y+g)), avec {x} et {y} deux ensembles d' indéterminées de même cardinal, et q,g deux constantes. Ces déterminants se réduisent à des fonctions symétriques en {x} et en {y}, que nous montrons comment expliciter et factoriser.

L'anneau des polynômes, en tant que module libre sur l'anneau des polynômes en les carrés des variables, a pour base naturelle les produits de polynômes de Schubert par les Q-fonctions de Schur. Nous explicitons différents opérateurs sur ce module et leur action sur la base. En particulier, nous montrons comment exprimer les opérateurs vertex à l'aide des différences divisées pour le groupe hyperoctahedral. L'objet géométrique associé est l'anneau de cohomologie d'un espace de drapeaux Lagrangien.

Nous montrons comment exprimer les opérateurs de Macdonald et les opérateurs de création en terme de différences divisées et de lambda-anneaux. Nous obtenons une expression déterminantale des polynômes de Macdonald.

Nous montrons comment l'algèbre de Hecke, l'équation de Yang-Baxter, les fonctions de Hall-Littlewood et même les polynômes de Macdonald peuvent être reliés au paramètre y que Hirzebruch introduisit dans son étude du théorème de Riemann-Roch.

Article résumant les propriétés de l'ensemble des tableaux de Young en tant que monoide, et en tant qu'ensemble ordonné. Ceci permet de relever à l'algèbre libre les fonctions symétriques (d'après des travaux en communs avec M.P. Schützenberger).

Soit Pi(x) la matrice obtenue en ajoutant l'entrée x en position (i,i) à la matrice standard représentant la transposition simple (i,i+1). Alors les produits (réduits) de telles matrices paramétrisent les varietés de Schubert, les changements de paramètres étant polynomiaux. En outre, de nombreux objets combinatoires (diagrammes de Rothe, tableaux équilibrés, ...) sont ainsi naturellement interprétés.

L'ordre de Bruhat sur le groupe symétrique est usuellement défini en terme de sous-mots de décompositions réduites, ou de tableaux (Ehresmann). Avec Schützenberger, j'ai préféré plonger le groupe symétrique dans un treillis distributif. La méthode qui donne le plus d'informations est cependant d'utiliser la base de Kazhdan-Lusztig de l'algébre de Hecke. J'explicite les polynômes de Kazhdan-Lusztig dans le cas des permutations vexillaires.

Les différences divisées sont un puissant outil sur les fonctions de plusieurs variables. Nous montrons comment retrouver grace à elles les formules d'interpolation classiques, ainsi que l'extension multivariée de l'interpolation de Newton. Nous donnons en quelques pages la théorie des polynômes de Schubert. Des exercices sont disponibles sur demande.

Codant les permutations comme des mon\^omes, on obtient une expression compacte des idempotents de Young (pour l'algèbre du groupe symétrique, ainsi que l'algèbre de Hecke).