La th\'eorie des s\'eries rationnelles en variables non commutatives permet
d'exprimer sous forme d'int\'egrales it\'er\'ees certaines s\'eries g\'en\'eratrices associ\'ees aux polylogarithmes et aux \MZV's
(une g\'en\'eralisation de la fonction $\zeta$ de Riemann),
les fonctions $\zeta$ de Hurwitz multivari\'ees
(une g\'en\'eralisation de la fonction $\zeta$ de Hurwitz classique).
En nous basant sur le produit de m\'elange des s\'eries rationnelles,
nous donnons des formules pour multiplier ces s\'eries g\'en\'eratrices.
Nous explicitons \'egale\-ment un autre produit de m\'elange
pour les $\zeta$ de Hurwitz multivari\'es.
Comme application de cette structure, nous obtenons un {\em nouvel} algorithme pour engendrer des relations entres les \MZV's {\em color\'es} par l'interm\'ediaire des s\'eries g\'en\'eratrices de Dirichlet
g\'en\'eralis\'ees associ\'ees aux suites de nombres p\'eriodiques.
Les fonctions $\zeta$ comportent des termes divergents.
En nous basant sur la combinatoire des mots,
nous donnons des formules explicites pour la
{\em r\'egu\-la\-risation syntaxique} des termes divergents
et une application de cette r\'egu\-la\-risation au calcul
des int\'egrales d'Arakawa-Kaneko en termes des \MZV's.
