Combinatorial and Geometric Properties of Graph Varieties

Jeremy L. Martin

To appear at Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC01), Tempe, Arizona (USA), May 20-26, 2001

Abstract

A configuration variety is an algebraic variety whose points correspond to tuples of vector spaces with certain intersection conditions. Classical examples of configuration varieties include the Grassmannian, flag, and Schubert varieties. As is well known, the geometry of these varieties is intimately connected with such combinatorial structures as the symmetric group and Young tableaux. Our research here focuses on a class of configuration varieties, related to graphs, which appear to have a rich combinatorial structure. We construct a variety V(G) whose points correspond to "pictures" of a graph G. The structure of the ideal determining V(G) depends to a large extent on the theory of combinatorial rigidity. We give a brief summary of rigidity theory and study how it helps relate combinatorial properties of G to algebraic properties of V(G). Finally, we describe a number of patterns that appear when we consider the initial ideal of V(G) as the Stanley-Reisner ring of a certain simplicial complex. This view leads to strong conjectures about the geometry of V(G) and also offers a promising route to their proofs. Une variété de configuration est une variété algébrique dont les points correspondent aux multiplets des espaces vectoriels à certains conditions d'intersection. Les exemples classiques des variétés de configuration incluent les variétés de Grassmann, les variétés des drapeaux, et les variétés de Schubert. C'est bien connu que la géométrie de ces variétés est intimement reliée à des structures combinatoires telles que le groupe symétrique et les tableaux de Young. Notre recherche ici se concentre à une classe des variétés de configuration, liée aux graphiques, qui semblent avoir une structure combinatoire riche. Nous construisons une variété V(G) dont les points correspondent aux "pictures" d'un graphe G. La structure de la idéale qui détermine V(G) dépend à la théorie de rigidité combinatoire. Nous donnons un sommaire court de la théorie de rigidité et étudions comment elle aide à associer les propriétés combinatoires de G aux propriétés algébriques de V(G). En conclusion, nous décrivons plusieurs phénomènes qui apparaissent quand nous considérons l'idéal initial de V(G) être l'anneau Stanley-Reisner d'un certain complexe simplicial. Cette vue mène aux conjectures fortes sur la géométrie de V(G) et offre aussi un itinéraire à leurs démonstrations.

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