Objectifs initiaux

Les objectifs initiaux étaient l'étude de la combinatoire de certains polynômes multivariés apparaissant en physique. En particulier, les invariants polynômiaux en information quantique et les polynômes symétriques orthogonaux liés à l'effet de Hall fractionnaire quantique. Dans le premier cas, il s'agissait d'étudier l'intrication à partir de polynômes décrivant le système. Dans le second cas, il s'agissait d'étudier la combinatoire des polynômes de Macdonald en relation avec les fonctions propres de certains opérateurs. Un volet était aussi consacré au calcul d'intégrales multiples de type Selberg.

Effet de Hall Fractionnaire quantique et polynômes de Macdonald: Nous avons écrit plusieurs articles sur le sujet. En particulier, deux importants papiers en collaboration avec Charles F. Dunkl (48p et 64p). Ces papiers portent sur des généralisations des polynômes de Macdonald lorsque les coefficients sont pris dans des représentations de l'algèbre de Hecke double affine. Les outils élaborés dans ces deux papiers nous ont permis de démontrer une conjecture de Forrester (ce papier a été soumis à Journal of Mathematical Physics il y a peu). Nous avons aussi collaboré avec Thierry Jolicoeur du laboratoire de physique statistique et de modèles statiques de l'université Paris sud sur les polynômes de Macdonald de plus haut poids. Cette collaboration a donné lieu à un article dans lequel nous démontrons et généralisons des propriétés découvertes par Bernevig et Haldane sur des fonctions « proche » (dans un certain sens) des fonctions propres de certains opérateurs utilisés dans la théorie de l'effet de Hall fractionnaire quantique.

Intégrales itérées: Il s'agit d'une collaboration transversale entre les pôles Marne-la-Vallée et Paris 13 qui a donné lieu à deux articles co-écrits avec PierPaolo Vivo de l' « Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics » de Triestre. Ces deux articles portaient sur l'étude asymptotiques d'intégrales de type Selberg. Les cas limites de ces intégrales font apparaître de la combinatoire intéressantes et nous abordons certains cas particuliers à l'aide de raisonnement de type algébriques utilisant des fonctions symétriques.

Théorie classique des invariants et Information quantique: Nous avons prolongé les travaux entamés dans cette direction avant le début de l'ANR. Les résultats ont été exposé dans un colloque à Séville. Nous avons abordé récemment une nouvelle approche: l'utilisation d'outils géométriques en renfort des calculs pour la description de l'intrication des systèmes quantiques purs. Ceci a donné lieu à un article en collaboration avec Jean-Yves Thibon de l'université de Marne-la-Vallée et de Frédéric Holweck, géomètre algébrique à l'université de Belfort.

Liste des publications multipartenaires (résultant d’un travail mené en commun)

International Revues à comité de lecture

G. H. E. Duchamp, J.-G. Luque, J.-C. Novelli, C. Tollu , F. Toumazet, Hopf algebras of diagrams, International Journal of Algebra and Computation 21, 3 (2011) 1-23.
C. Carr\'e, M. Deneufchatel, J.-G. Luque, P. Vivo, {\it Asymptotics of Selberg-like integrals: The unitary case and Newton's interpolation formula}, J. Math. Phys. 51, 123516 (2010)
A. Boussicault, J.-G. Luque,C. Tollu, Hyperdeterminantal computation for the Laughlin wavefunction, J. Phys. A: Math. Theor. 42 145301 (13pp), 2009.

Communications (conférence)

G.H.E. Duchamp, J.-C. Novelli, J.-G. Luque, C.Tollu et F. Toumazet, Hopf algebra of diagrams, FPSAC'O7.

Liste des publications monopartenaires (impliquant un seul partenaire)

International Revues à comité de lecture

C.F. Dunkl, J.-G. Luque, Vector valued Macdonald polynomials, Seminaire Lotharingien de Combinatoire 66 (2012) B66b (68pp)
F. Holweck , J.-G. Luque, J.-Y. Thibon, {\it Geometric descriptions of entangled states by auxiliariy varieties}, Journal of Mathematical Physics 53, 10 (2012) 102203.
Th. Jolicoeur, J.-G. Luque, Highest weight Macdonald and Jack Polynomials, Journal of Physics A Mathematical and Theoretical, 44 (2011) 055204.
Charles F. Dunkl , J.-G. Luque, Vector valued Jack polynomials from scratch, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications 7 (2011) 026, 48 pages
F. Hivert, J. -C. Novelli, J.-G. Luque, J. -Y. Thibon, The (1-E)-transform in combinatorial Hopf algebras, Journal of Algebraic Combinatorics Volume 33, Number 2, 277-312.
J.-G. Luque, P. Vivo, Nonlinear Random Matrix Statistic, symmetric functions and hyperdeterminants, J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 085213.
J.-G. Luque, Macdonald polynomials at $t=q^k$, Journal of Algebra 324 (2010) 36-50

Communications (conférence)

J.-G. Luque, Macdonald polynomials at $t=q^k$,DMTCS Proceedings, 21st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009)
A. Boussicault et V. Féray, Application of graph combinatorics to rational identities of type A, 21 st International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2009) -FPSAC09, Autriche (2009)
J.-G. Luque, Une généralisation des polynômes de Jack. Calculs et propriét\és liés au graphe de Yang-Baxter, Journées de combinatoire de Bordeaux 2011, France (2011). Conférencier invité.
J.-G. Luque, J.-Y. Thibon, From symmetric functions to qubits (4 heures), Mathematical Foundations of Quantum Information, Seville : Spain (D\'ecembre 2009)